Ich hab mir mal gedacht, ich werde jetzt in losen Abständen ein paar mathematische Beweise zeigen, kein schwerer Tobak. Eigentlich ganz einfach (“jaja, das sagt der jetzt nur”, “der studiert das ja schließlich, muss ja für den einfach sein”,…) und ich werde versuchen so ausführlich wie möglich zu erklären worum es geht. Heute geht es mal um Primzahlen. Das sind ganze besondere Zahlen, sozusagen die Bausteine aller natürlichen Zahlen. Natürliche Zahlen? Was war das nochmal? 1,2,3,4,5,…. Achja, da war ja was. Abgekürzt werden sie mit . Je nachdem, welchen Lehrer/ Professor man hat(te), zählt manchmal auch noch die dazu, aber die lassen wir jetzt erstmal außen vor, die spielt eh eine Sonderrolle.

Zurück zu den Bausteinen. Wieso Bausteine? Nunja, jeder von euch hat bestimmt schonmal Zahlen zerlegt. Nein? Doch! Schaut euch mal den folgenden Bruch an: Dies ist jedoch kein “echter” Bruch – “echter Bruch? Was will der jetzt schon wieder? Zahl oben, Zahl unten, Strich dazwischen. Das ist ganz klar ein Bruch. Wo gibts da was unechtes?”. Kramt ihr nochmal ein bisschen in eurem Mathewissen, so kommt euch vielleicht der Begriff “kürzen” in den Sinn. Der Bruch ist nicht vollständig gekürzt. Also: . Okay, und was hat das mit Primzahlen zu tun? Zerlegung? Bei so einfachen Brüchen macht ihr das im Kopf, aber schaut euch mal an. Na? Mit ein bisschen überlegen kommen wir wie folgt voran: .

Und, habt ihr es gemerkt? Beim Kürzen zerlegen wir mal mehr, mal weniger, die Zahlen in ihre Bestandteile und kürzen gleiche Teile weg. wird zu . Ebenso lässt sich zerlegen.

Jetzt wissen wir also, was Zerlegung ist. wird zu . Doch ist noch keine Primzahl. Dazu schauen wir uns am Besten einmal an, was eine Primzahl ausmacht:

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die sich nur durch 1 und sich selber teilen lässt, also nur zwei Teiler hat.

So lautet also die Definition einer Primzahl. Jetzt sehen wir bestimmt auch, wieso keine Primzahl ist. Durch was lässt sie sich denn teilen? Durch sich selber? Ja. Durch 1? Ja (das ist ja logisch). Aber: lässt sich auch noch durch teilen. Also wissen wir sofort, dass keine Primzahl sein kann. Das ist das schöne an der Mathematik. Wir haben eine Definition und können damit eindeutig eine Aussage über eine Zahl treffen.

In diesem Fall können wir feststellen, ob wir es mit einer Primzahl zu tun haben, oder nicht.

Schauen wir uns mal ein bisschen in den natürlichen Zahlen um und suchen ein paar Primzahlen. Welchen fallen euch ein? Da wären ? Nein. Denn . Merke: Nicht jede ungerade Zahl ist eine Primzahl. Eins können wir jedoch festhalten: Alle geraden Zahlen, die größer als sind, sind keine Primzahlen. Wieso? Überlegt einfach mal kurz, welche Eigenschaft die geraden Zahlen haben.

Aber zurück zu den Bausteinen. Wir haben eben gesehen, dass ist. ist eine Primzahl. Also wird die sozusagen von der “gebaut”. Schauen wir mal weiter. Die haben wir oben schon gesehen. Aber was ist mit der zum Beispiel? Kein Problem: . Sie wird also auch aus Primzahlen gebildet. So könnten wir immer weiter schauen, jede natürliche Zahl ist entweder eine Primzahl oder aus Primzahlen gebildet. Noch wichtiger: Für jede Zahl gibt es genau eine einzige Möglichkeit, sie aus den Primzahlen zu bilden. Abgesehen von der Reihenfolge natürlich, wie wir bei der gesehen haben. Denn und sind natürlich identisch.

“Okay, jetzt kommt der Typ hier mit son Krams und sagt das. Aber stimmt das überhaupt? Jede natürliche Zahl ist aus Primzahlen gebildet? Egal wie groß? Und wenn sie 1000000000 Stellen hat? Und dann soll diese Zerlegung auch noch eindeutig sein? Wie soll das denn gehen”

Kommen wir also zu dem Teil der Mathematik, den die meisten Schüler hassen und den die Mathematiker lieben: Der Beweis. Denn wer so etwas in die Welt wirft, muss auch zeigen können, dass es der Wahrheit entspricht. Ich seh schon, wie ihr beim Wort Beweis zusammengezuckt seid und euer Mauszeiger instinktiv auf den Tab-schließen-Button zuwandert. Aber HALT! Keine Angst. Das ist einfach. Ich zeig euch das.

Schauen wir uns erstmal an, was wir überhaupt zeigen müssen:

Da wäre zum einen: “Jede natürliche Zahl ist aus Primzahlen gebildet” – etwas anders formuliert: “Für jede natürliche Zahl existiert eine Zerlegung in Primzahlen”

Dann hätten wir noch: “Egal wie groß? Und wenn sie 100000000 Stellen hat?” – in der Fachsprache: “Es gibt unendlich viele Primzahlen”

Und zu guter Letzt: “Und dann soll diese Zerlegung auch noch eindeutig sein?” – da gibts nicht viel, was ich umformulieren müsste. Lassen wir so stehen.

Fangen wir mal an, die erste Aussage (so nennen wir Mathematiker so etwas) zu beweisen. Wir möchten also zeigen, dass es für jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen gibt. Dazu teilen wir die Menge der natürlichen Zahlen in drei Schüsseln auf. Die erste enthält nur die . Die zweite enthält alle Primzahlen und die dritte enthält alle anderen Zahlen, das sind die, die zusammengesetzt sind. Die und die Primzahlen müssen wir nicht weiter beachten, uns interessieren nur die zusammengesetzten Zahlen. Überlegen wir ein bisschen: Stellen wir uns vor, es gibt Zahlen, die kein Produkt von Primzahlen sind. Suchen wir uns von diesen Zahlen die kleinste heraus und geben wir ihr einen Namen – und weil wir Mathematiker sehr sparsam mit Buchstaben umgeben, nennen wir sie . Nicht sehr schön, aber schön kurz ;-) Unser ist nicht die und auch keine Primzahl, denn sie kommt aus der dritten Schüssel. Da sie zusammengesetzt ist, muss man sie durch irgendeine andere Zahl teilen können. Nennen wir diese Zahl .Wer gut aufgepasst hat, dem müsste auffallen, dass wir noch eine Zahl brauchen, denn wenn wir unser durch das teilen, brauchen wir ja ein Ergebnis. Das nennen wir . Einfallsreich. Halten wir also fest: . Klar? Wenn und unser teilen, so muss ihr Produkt das ergeben. und sind auch kleiner als . Das weiß jeder, der schon einmal Division durchgeführt hat. Jetzt zum Anfang zurück: war die kleinste Zahl, die nicht als Produkt aus Primzahlen dargestellt werden kann. Da und kleiner als sind, müssen die beiden als Produkt von Primzahlen dargestellt werden können. Und somit kann auch als Produkt dargestellt werden. Wie? Indem wir einfach in der Gleichung das und das durch ihre entsprechenden Primzahlen ersetzen. Das wir so darstellen können, ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass nicht aus Primzahlen zusammengesetzt ist.

Puh, das war ein langer Absatz. Aber ich hoffe ihr habt die einzelnen Schritte verstanden und konntet der Logik dahinter gut folgen.

Schauen wir uns mal die zweite Aussage an. Dies ist eine recht einfach zu beweisende Tatsache, dazu ein kurzes Bild

(via Abstruse Goose)

In zwei, drei kurzen Sätzen der Beweis: Wir nehmen an, es gibt nur eine bestimmte Menge von Primzahlen. Wir multiplizieren diese miteinander. Dazu addieren wir 1. Diese Zahl ist auf jeden Fall größer als, die unserer Meinung nach, größte Primzahl unserer Menge. Nun haben wir zwei Möglichkeiten: Entweder die Zahl ist eine neue Primzahl, dann hätten wir bewiesen, dass es doch noch eine weitere Primzahl gibt und könnten unser Spiel von vorne beginnen. Damit hätten wir gezeigt, dass unsere Menge von Primzahlen doch nicht alle Primzahlen enthält. Oder die Zahl ist keine Primzahl, dann aber finden wir einen Teiler. Und dieser Teiler kommt aus unserer Menge von Primzahlen, denn dass sind ja unserer Meinung die Einzigen, die es gibt. Nennen wir diesen Teiler . teilt dann also das Produkt unserer Primzahlen, nennen wir es und auch – unsere neue Zahl. Doch wie soll das gehen? Dann müsste unser aber auch die Differenz der beiden Zahlen teilen. enthält aber keine Primteiler. Wir haben also schon wieder einen Widerspruch. Somit können wir felsenfest behaupten, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dieser Beweis stammt übrigens von Euklid, der um 300 v.Chr. lebte. Ist also schon ganz schön alt der Kram.

Es fehlt jetzt natürlich noch der dritte Beweis, aber den möchte ich an dieser Stelle nicht führen, da er ein bisschen ausführlicher wird und der Eintrag jetzt schon eine Menge an Stoff enthält, den ein Nicht-Mathematiker erst einmal verdauen muss ;-)

Warum ausgerechnet Primzahlen als Thema? Nunja, viele von euch sind sicherlich tagtäglich im Internet unterwegs und manche kaufen bestimmt auch ein oder betreiben Online-Banking. Und da begegnen euch Primzahlen. Denn wie kommen eure Daten sicher von eurem Browser zum Händler oder zur Bank? Natürlich verschlüsselt. Und dazu werden Verschlüsselungsmechanismen benutzt, die darauf beruhen, dass es nur mit sehr viel Aufwand möglich ist, ein Produkt aus zwei sehr großen Primzahlen zu zerlegen.
Denn eins wird euch vielleicht klar: Zwei Zahlen zu multiplizieren ist einfach, aber 78457630683971672300324001194081223769 zu zerlegen braucht schon etwas Arbeit. Und jetzt stellt euch Zahlen vor, die mehrerere 100 Stellen lang sind.

Wer mehr Infos haben möchte, kann einfach mal auf der Wikipedia nachschauen. Primzahl ist hier das Stichwort, wer hätte das gedacht ;-)